METODOS PARA SISTEMAS DE ECUCIONES NO LINEALES
Newton-Raphson Multivariable
El metodo de Newton-Raphson modificado el cual se describe acontinuacion consiste en aplicar el metodo de Newton-Raphson multivariable dos veces(para el caso de un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas, se aplicara n veces), una para cada variable. Cada vez que se hace esto, se considera las otras variables fijas.
Considerese de nuevo el sistema:
Tomando los valores iniciales x0,y0, se calcula a partir del metodo de Newton-Raphson univariable un nuevo valor x1 de la forma siguiente:
Ya teniendo f1(x0,y0) y df1/dx estos dos evaluados en x0,y0.
Hay que observar que se a obtenido x1 a partir de f1 y los valores mas recientes de X y Y; x0,y0.
Ahora emplearemos f2 y los valores mas recientes de X y Y; x1, y0 para calcular y1
De esta forma :
Donde df2/dy se evalúa en x1,y0. Se obtiene ahora x1 y y1. con estos valores se calcula x2, después y2, y así sucesivamente.
Este metodo converge a menudo si x0,y0 esta muy cerca de xnegada y ynegada, y requiere la evaluacion de solo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuaciones que se esta manejando). Hay que observar que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero los desplazamientos simultaneos tambien son aplicables.
En la aplicación de este metodo se pudo tomar f2 para evaluar x1 y f1, a fin de evaluar y1, asi:
Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia en el otro.es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergiran para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando 3 <= n las posibilidades son varias (n!) y es imposible conocer cual de estos arreglos tiene viabilidad de convergencia, por lo cual la eleccion se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventaja de este metodo.
En general, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: x1,x2……,xn, el algoritmo toma la forma:
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones
1.- Debemos determinar nuestras dos ecuaciones de la forma en la que se encuentra igualadas a cero:
2.- En segundo paso debemos conocer nuestro valores iniciales los cuales vamos a iniciar que en arbitrariamente se utilizan x0=0 y y0=0.
3.- como tercer paso debemos derivar cada uno de nuestras ecuaciones dadas en este caso seria
Encontrar la derivada de df1/dx encontrando el valor de x con la primera ecuación.
Y encontrando la derivada de df2/dy podemos encontrar el valor de y con la segunda ecuación.
Practicamente teniendo las derivadas de cada una de las dos ecuaciones podemos realizar el siguiente paso.
4.- Apartir de este paso se efectua encontrar la primera iteracion la cual comienza realizando una evaluacion para f1 y df1/dx en [0,0]t y haciendo eso encontraremos nuevos valores que utilizaremos en el siguiente paso.
5.- Practicamente en este paso seria sustituir valores en una formula la cual ya se dio a conocer que es la siguiente para sacar el valor de x1 es el siguiente y cual obtendremos el nuevo valor de x.
6.- de igual forma seria con los pasos anteriores apartir del cuarto en adelante asta el quinto asemos lo mismo con y1 pero en este caso utilizando los nuevos valores que ya tenemos de x que en este caso seria sustituir la ecuacion de la siguiente forma que es f2(x1,y0) ya que en el paso anterior se encontro el paso 5,por lo tanto sacando todo eso utilizariamos la siguiente ecuacion para efectuar sacar el valor de y1 que es la siguiente:
7.- en el septimo paso se concluye al la primera iteracion teniendo los valores de x1 y y1 nuevos los cuales seran utilizados para sacar la segunda iteracion que seria practicamente lo mismo nada mas que en este caso sustituiremos x1 y y1 como nuestros valores iniciales y asi consecutivamente.
Recalcamos este metodo no quiere decir que es necesario obtener nada mas dos iteraciones y despues llegar ala convergencia este se deduce mediante a lo que se dijo anteriormente de que los valores iniciales se acercan a la x negada y y negada para satisfacer las necesidades convergencia.
Metodo de Newton Raphson de Derivadas Parciales
El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de Newton-Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o mas variables es viable generalizando los resultados. Supóngase que se está resolviendo el sistema.
Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor.
Donde f (x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales están evaluadas en (a, b). Expandiendo f1 alrededor de (x^k, y^k):(imagen 4.8)
Donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (x^k, y^k). De la misma forma puede expandirse en f2:(imagen 4.9)
De igual manera que en la ecuación 4.8, todas las derivadas parciales de 4.9 están evaluadas en (x^k, y^k). Ahora supóngase que x^k+1, y^k+1 están cerca de la raíz buscada (x, y) que los lados izquierdos de las dos últimas ecuaciones son casi cero; además, asúmase que x^k, y^k están tan próximos de x^k+1 que pueden omitirse los términos a partir de los que se encuentran agrupados en paréntesis rectangulares. Con esto las ecuaciones 4.8 y 4.9 se simplifican a:(imagen 4.10)
Para simplificaraun mas se cambia la notación con:
Y que dando de la siguiente manera la (k – 1) esima en términos de iteración de la k-esima como se muestra a continuación:
La sustitución de la ecuación 4.11 en la 4.10 y el rearreglo dan como resultado:(imagen 4.13)
El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j (recuérdese que las derivadas parciales de la ecuación 4.13, así como f1 y f2 están evaluadas en (x^k, y^k) y, por tanto, son números reales. Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes o matriz jacobiana J no sea cero; es decir, si se cumple la siguiente condición:
Precisando: este método consiste fundamentalmente en formar y resolver el sistema 4.13. Con la solución y la ecuación 4.12 se obtiene la siguiente aproximación. Este procedimiento se repite hasta satisfacer algún criterio de convergencia establecido. Cuando converge este método, lo hace con orden 2, y requiere que el vector (Xo, Yo) esté muy cerca de la raíz buscada (x, y).
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