Método de la Secante

2.5. Metodo de la Secante

METODO DE LA SECANTE

 

 

 

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

El método se define por la relación de recurrencia:

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

“Convergencia”

El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es donde

es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson. En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

 La motivación del método de la secante viene de que en ocaciones es complicado ó quizas imposible calcular la derivada de la función f en el método de Newton. Por ejemplo la función f podría estar especificada por un número discreto de puntos ó dada por un programa de computadora. En tales situaciones el método de Newton se hace impractico y buscamos un método intermedio entre el de la bisección y el de Newton. Para esto suponemos que tenemos dos aproximaciones x₀, x₁ de la raiz a. Podemos ahora construir la secante a la función f en los punto (x₀,f(x₀)), (x₁,f(x₁)), la cual esta dada por:

(4.27)

Definimos la nueva aproximación x₂ como el intercepto en x de esta secante, i.e.,

(4.28)

Este proceso lo podemos repetir ahora con x₁, x₂ para generar x₃, etc. Obtenemos asi la recurción que define el Método de la Secante:

(4.29)

El método de la secante es un ejemplo de un método iterativo de dos puntos ya que predice en el paso n+1 basado en la información obtenida en los pasos n, n-1. Note también que

(4.30)

de modo que el método de la secante se puede ver como una discretización del método de Newton.

El análisis de convergencia del método de la secante es un tanto más complicado que el del método de Newton y requiere del concepto de diferencias divididas las cuales se discuten en el Cápitulo 5. Usando propiedades de las diferencias dividas se puede demostrar que las iteraciones del método de la secante satisfacen:

(4.31)