Ecuaciones Diferenciales

Unidad 6 - Solución de Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

 

6.1 Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: · Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. · Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuación diferencial ordinaria, donde y representa una función no especificada de la variable independiente x , es decir, es la derivada de y con respecto a x. La expresión es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: es decir si: Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Ejemplo: Ecuaciones semilineales y cuasilineales No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y(x)puede escribirse en la forma: Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si f1(.)es una función afín, es decir,. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y(x)puede escribirse en la forma: Se dice que dicha ecuación es semilineal si f2(.) es una función lineal. Solución de una ecuación diferencial Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.