Metodos para Sistemas de Ecuaciones no Lineales

3.2. Métodos para Sistemas de Ecuaciones no lineales

METODOS PARA SISTEMAS DE ECUCIONES NO LINEALES

 

 

 Newton-Raphson Multivariable

El metodo de Newton-Raphson modificado el cual se describe acontinuacion consiste en aplicar el metodo de Newton-Raphson multivariable dos veces(para el caso de un sistema de n ecuaciones no lineales con n incógnitas, se aplicara n veces), una para cada variable. Cada vez que se hace esto, se considera las otras variables fijas.

Considerese de nuevo el sistema:

Tomando los valores iniciales x0,y0, se calcula a partir del metodo de Newton-Raphson univariable un nuevo valor x1 de la forma siguiente:

Ya teniendo f1(x0,y0) y df1/dx estos dos evaluados en x0,y0.

Hay que observar que se a obtenido x1 a partir de f1 y los valores mas recientes de X y Y; x0,y0.

Ahora emplearemos f2 y los valores mas recientes de X y Y; x1, y0 para calcular y1

De esta forma :

Donde df2/dy se evalúa en x1,y0. Se obtiene ahora x1 y y1. con estos valores se calcula x2, después y2, y así sucesivamente.

Este metodo converge a menudo si x0,y0 esta muy cerca de xnegada y ynegada, y requiere la evaluacion de solo 2n funciones por paso (cuatro para el caso de dos ecuaciones que se esta manejando). Hay que observar que se han empleado desplazamientos sucesivos, pero los desplazamientos simultaneos tambien son aplicables.

En la aplicación de este metodo se pudo tomar f2 para evaluar x1 y f1, a fin de evaluar y1, asi:

Esto puede producir convergencia en alguno de los arreglos y divergencia en el otro.es posible saber de antemano si la primera o la segunda forma convergiran para el caso de sistemas de dos ecuaciones, pero cuando 3 <= n las posibilidades son varias (n!) y es imposible conocer cual de estos arreglos tiene viabilidad de convergencia, por lo cual la eleccion se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventaja de este metodo.

En general, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: x1,x2……,xn, el algoritmo toma la forma:

Pasos para resolver un sistema de ecuaciones

1.- Debemos determinar nuestras dos ecuaciones de la forma en la que se encuentra igualadas a cero:

2.- En segundo paso debemos conocer nuestro valores iniciales los cuales vamos a iniciar que en arbitrariamente se utilizan x0=0 y y0=0.

3.- como tercer paso debemos derivar cada uno de nuestras ecuaciones dadas en este caso seria

Encontrar la derivada de df1/dx encontrando el valor de x con la primera ecuación.

Y encontrando la derivada de df2/dy podemos encontrar el valor de y con la segunda ecuación.

Practicamente teniendo las derivadas de cada una de las dos ecuaciones podemos realizar el siguiente paso.

4.- Apartir de este paso se efectua encontrar la primera iteracion la cual comienza realizando una evaluacion para f1 y df1/dx en [0,0]t y haciendo eso encontraremos nuevos valores que utilizaremos en el siguiente paso.

5.- Practicamente en este paso seria sustituir valores en una formula la cual ya se dio a conocer que es la siguiente para sacar el valor de x1 es el siguiente y cual obtendremos el nuevo valor de x.

6.- de igual forma seria con los pasos anteriores apartir del cuarto en adelante asta el quinto asemos lo mismo con y1 pero en este caso utilizando los nuevos valores que ya tenemos de x que en este caso seria sustituir la ecuacion de la siguiente forma que es f2(x1,y0) ya que en el paso anterior se encontro el paso 5,por lo tanto sacando todo eso utilizariamos la siguiente ecuacion para efectuar sacar el valor de y1 que es la siguiente:

7.- en el septimo paso se concluye al la primera iteracion teniendo los valores de x1 y y1 nuevos los cuales seran utilizados para sacar la segunda iteracion que seria practicamente lo mismo nada mas que en este caso sustituiremos x1 y y1 como nuestros valores iniciales y asi consecutivamente.

Recalcamos este metodo no quiere decir que es necesario obtener nada mas dos iteraciones y despues llegar ala convergencia este se deduce mediante a lo que se dijo anteriormente de que los valores iniciales se acercan a la x negada y y negada para satisfacer las necesidades convergencia.

Metodo de Newton Raphson de Derivadas Parciales

El método iterativo para sistemas de ecuaciones converge linealmente. Como en el método de una incógnita, puede crearse un método de convergencia cuadrática, es decir, el método de Newton-Raphson multivariable, a continuación se obtendrá este procedimiento para dos variables; la extensión a tres o mas variables es viable generalizando los resultados. Supóngase que se está resolviendo el sistema.

Donde ambas funciones son continuas y diferenciables, de modo que puedan expandirse en serie de Taylor.

Donde f (x, y) se ha expandido alrededor del punto (a, b) y todas las derivadas parciales están evaluadas en (a, b). Expandiendo f1 alrededor de (x^k, y^k):(imagen 4.8)

Donde todas las derivadas parciales están evaluadas en (x^k, y^k). De la misma forma puede expandirse en f2:(imagen 4.9)

De igual manera que en la ecuación 4.8, todas las derivadas parciales de 4.9 están evaluadas en (x^k, y^k). Ahora supóngase que x^k+1, y^k+1 están cerca de la raíz buscada (x, y) que los lados izquierdos de las dos últimas ecuaciones son casi cero; además, asúmase que x^k, y^k están tan próximos de x^k+1 que pueden omitirse los términos a partir de los que se encuentran agrupados en paréntesis rectangulares. Con esto las ecuaciones 4.8 y 4.9 se simplifican a:(imagen 4.10)

Para simplificaraun mas se cambia la notación con:

Y que dando de la siguiente manera la (k – 1) esima en términos de iteración de la k-esima como se muestra a continuación:

La sustitución de la ecuación 4.11 en la 4.10 y el rearreglo dan como resultado:(imagen 4.13)

El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas h y j (recuérdese que las derivadas parciales de la ecuación 4.13, así como f1 y f2 están evaluadas en (x^k, y^k) y, por tanto, son números reales. Este sistema de ecuaciones lineales resultante tiene solución única, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes o matriz jacobiana J no sea cero; es decir, si se cumple la siguiente condición:

Precisando: este método consiste fundamentalmente en formar y resolver el sistema 4.13. Con la solución y la ecuación 4.12 se obtiene la siguiente aproximación. Este procedimiento se repite hasta satisfacer algún criterio de convergencia establecido. Cuando converge este método, lo hace con orden 2, y requiere que el vector (Xo, Yo) esté muy cerca de la raíz buscada (x, y).

Metodos de Soluciones EDO

6.2 Metodos de Solucionde EDO

 

METODO DE EULER

El Método de Euler para dar solución a una EDO utiliza la ecuación de la pendiente o la serie de Taylor truncada hasta el segundo término.

La información que se tiene del problema es; las condiciones iniciales t₀ = 0 seg, s(t₀) = 0 metros y la EDO, por lo cual, la ecuación de la pendiente puede escribirse, haciendo uso de dicha información, como;

Para obtener un nuevo punto, (t₁, s(t₁)), que forma parte de la función de posición, s(t), se despeja s(t₁),

De la ecuación anterior lo único que falta para obtener el nuevo punto es el valor de t₁, tiempo de caída transcurrido, que se puede proponer de un segundo. Así, con lo anterior se pretende saber la distancia recorrida por el paracaidista después de un segundo de lanzarse. Teniendo los datos y sustituyéndolos en la relación de s(t₁) anterior, se obtiene,

La siguiente figura presenta la idea anterior:

Aun que es ilógico pensar que después de un segundo el paracaidista no ha caído nada, acordémonos que esto es una aproximación únicamente.

Teniendo los nuevos datos se puede evaluar nuevamente la pendiente de una recta tangente pero ahora en el punto (1, 0):

La gráfica siguiente presenta los datos y la idea de cómo el Método de Euler va aproximando la solución, s(t).

Repitiendo el proceso, con los nuevos datos, (t₂, s(t₂)), se puede evaluar una nueva pendiente y con ello en nuevo par ordenado. Así, para los datos,

La siguiente figura presenta nuevamente los datos y el gráfico de la función tabulada:

Siguiendo la estrategia del Método de Euler se obtiene la siguiente solución,

De la tabla anterior se puede ver que a los 10 segundos de haberse lanzado, el paracaidista a recorrido 266.312577 m. La gráfica aproximada de la función de posición es:

Concluyendo, el Método de Euler utiliza la siguiente expresión, para aproximar la solución de una EDO:

El término t i+1 - t se le llama, tamaño de paso, y se puede representar a través de la letra h. El tamaño de paso puede ser tan pequeño como se desee y entre más pequeño sea más precisión se obtendrá. Otra forma de ver la solución obtenida, es decir que, la solución tabulada trata de ajustar de forma aproximada al lugar geométrico de la función solución, a través de segmentos de rectas, la figura siguiente presenta esta idea:

La solución analítica es de 289.4351465 m, la solución numérica es de 266.312577 m, el error es de 23.1225695 m.

Métodos de Runge-Kutta

Dentro de los Métodos de Runge-Kutta se presentaran tres; el Método de Runge-Kutta de segundo orden de Ralston, el de Runge-Kutta de tercer orden y el Método de Runge-Kutta de cuarto orden.

La idea de estos métodos es básicamente la misma que el Método de Euler, aproximar el valor de y_i+1 a través de un segmento de recta de pendiente dy/dx, sin embargo los Métodos de Runge-kutta hacen una corrección a la pendiente de la recta para que el valor de y_i+1 se aproxime mejor al valor verdadero.

Método de Ralston (Runge-kutta de segundo orden)

El Método de Ralston utiliza la siguiente expresión

como se puede observar la expresión anterior es parecida a la que utiliza el Método de Euler, con la diferencia que los términos entre paréntesis, en el Método de Ralston, es una corrección a la pendiente que utiliza para aproximar y_i+1. Aquí, k₁ y k₂ son pendientes evaluadas en dos puntos distintos del intervalo (x_i+1, x_i) y se representan por:

Método Runge-kutta de tercer orden

Este método utiliza la siguiente ecuación:

Solución de sistemas de EDO

Un sistema de EDO se pueden representar de forma general como:

Para dar solución a estos sistemas de EDO se procede de la misma forma que para una EDO, primeramente se deben tener las n condiciones iniciales (una por cada EDO) y los límites de integración (x₀ , x_f), luego se debe proponer o evaluar el tamaño de paso h, enseguida se procede a utilizar el método seleccionado.

Ecuaciones Diferenciales

Unidad 6 - Solución de Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

 

6.1 Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: · Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. · Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuación diferencial ordinaria, donde y representa una función no especificada de la variable independiente x , es decir, es la derivada de y con respecto a x. La expresión es una ecuación en derivadas parciales. A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación. Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado. Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma: es decir si: Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Ejemplo: Ecuaciones semilineales y cuasilineales No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y(x)puede escribirse en la forma: Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si f1(.)es una función afín, es decir,. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función y(x)puede escribirse en la forma: Se dice que dicha ecuación es semilineal si f2(.) es una función lineal. Solución de una ecuación diferencial Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular: Si fijando cualquier punto P(X0,Y0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P(X0,Y0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Polinomio de Interpolacion de Newton

5.2 Polinomio de interpolacion de Newton

POLINOMIO DE INTERPOLACION DE NEWTON

POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON Uno de estas formas de interpolación se denomina Polinomios de Interpolación de Newton, que trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas; En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas. Interpolación polinomial de Newton Algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado. Interpolación lineal Utilizando triángulos semejantes Reordenando Ejemplo Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294 Valor real ln 2 = 0.6931472 Error relativo porcentual = 33.3% Forma General de los polinomios de interpolación de Newton Polinomio de interpolacion de newton en diferencias divididas Errores de interpolacion polinomial de Newton